Выкройка для конуса | Математика для ювелиров

Вместо слова «выкройка» иногда употребляют «развертка», однако этот термин неоднозначен: например, разверткой называют инструмент для увеличения диаметра отверстия, и в электронной технике существует понятие развертки. Поэтому, хоть я и обязан употребить слова «развертка конуса», чтобы поисковики и по ним находили эту статью, но пользоваться буду словом «выкройка».

Построение выкройки для конуса — дело нехитрое. Рассмотрим два случая: для полного конуса и для усеченного. На картинке (кликните, чтобы увеличить) показаны эскизы таких конусов и их выкроек. (Сразу замечу, что речь здесь пойдет только о прямых конусах с круглым основанием. Конусы с овальным основанием и наклонные конусы рассмотрим в следующих статьях).

1. Полный конус

Обозначения:

• — диаметр основания конуса;
• — высота конуса;
• — радиус дуги выкройки;
• — центральный угол выкройки.

Параметры выкройки рассчитываются по формулам:
;
;
где .

2. Усеченный конус

Обозначения:

• — диаметр большего основания конуса;
• — диаметр меньшего основания конуса;
• — высота конуса;
• — радиус внешней дуги выкройки;
• — радиус внутренней дуги выкройки;
• — центральный угол выкройки.

Формулы для вычисления параметров выкройки:
;
;
;
где .
Заметим, что эти формулы подойдут и для полного конуса, если мы подставим в них .

3. Угол при вершине конуса

Иногда при построении конуса принципиальным является значение угла при его вершине (или при мнимой вершине, если конус усеченный). Самый простой пример — когда нужно, чтобы один конус плотно входил в другой. Обозначим этот угол буквой (см. картинку).
В этом случае мы можем его использовать вместо одного из трех входных значений: , или . Почему «вместо«, а не «вместе«? Потому что для построения конуса достаточно трех параметров, а значение четвертого вычисляется через значения трех остальных. Почему именно трех, а не двух и не четырех — вопрос, выходящий за рамки этой статьи. Таинственный голос мне подсказывает, что это как-то связано с трехмерностью объекта «конус». (Сравните с двумя исходными параметрами двухмерного объекта «сегмент круга», по которым мы вычисляли все остальные его параметры в статье Геометрия круга.)

Ниже приведены формулы, по которым определяется четвертый параметр конуса, когда заданы три.

• Заданы ; тогда .
• Заданы ; тогда .
• Заданы ; тогда .
• Заданы ; тогда .

4. Методы построения выкройки

• Вычислить значения на калькуляторе и построить выкройку на бумаге (или сразу на металле) при помощи циркуля, линейки и транспортира.
• Занести формулы и исходные данные в электронную таблицу (например, Microsoft Exel). Полученный результат использовать для построения выкройки при помощи графического редактора (например, CorelDRAW).
• использовать мою программу Cones, которая нарисует на экране и выведет на печать выкройку для конуса с заданными параметрами. Эту выкройку можно сохранить в виде векторного файла и импортировать в CorelDRAW.

5. Не параллельные основания

Что касается усеченных конусов, то программа Cones пока строит выкройки для конусов, имеющих только параллельные основания.
Для тех, кто ищет способ построения выкройки усеченного конуса с не параллельными основаниями, привожу ссылку, предоставленную одним из посетителей сайта:
Усеченный конус с не параллельными основаниями.

 геометрические формулы

прямой, наклонный и усеченный конус

Развертка поверхности конуса — это плоская фигура, полученная путем совмещения боковой поверхности и основания конуса с некоторой плоскостью.

Варианты построения развертки:

• Прямой круговой конус
• Наклонный конус
• Усеченный конус

Развертка прямого кругового конуса

Развертка боковой поверхности прямого кругового конуса представляет собой круговой сектор, радиус которого равен длине образующей конической поверхности l, а центральный угол φ определяется по формуле φ=360*R/l, где R – радиус окружности основания конуса.

В ряде задач начертательной геометрии предпочтительным решением является аппроксимация (замена) конуса вписанной в него пирамидой и построение приближенной развертки, на которую удобно наносить линии, лежащие на конической поверхности.

Алгоритм построения

1. Вписываем в коническую поверхность многоугольную пирамиду. Чем больше боковых граней у вписанной пирамиды, тем точнее соответствие между действительной и приближенной разверткой.
2. Строим развертку боковой поверхности пирамиды способом треугольников. Точки, принадлежащие основанию конуса, соединяем плавной кривой.

Пример

На рисунке ниже в прямой круговой конус вписана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF, и приближенная развертка его боковой поверхности состоит из шести равнобедренных треугольников – граней пирамиды.

Рассмотрим треугольник S₀A₀B₀. Длины его сторон S₀A₀ и S₀B₀ равны образующей l конической поверхности. Величина A₀B₀ соответствует длине A’B’. Для построения треугольника S₀A₀B₀ в произвольном месте чертежа откладываем отрезок S₀A₀=l, после чего из точек S₀ и A₀ проводим окружности радиусом S₀B₀=l и A₀B₀= A’B’ соответственно. Соединяем точку пересечения окружностей B₀ с точками A₀ и S₀.

Грани S₀B₀C₀, S₀C₀D₀, S₀D₀E₀, S₀E₀F₀, S₀F₀A₀ пирамиды SABCDEF строим аналогично треугольнику S₀A₀B₀.

Точки A, B, C, D, E и F, лежащие в основании конуса, соединяем плавной кривой – дугой окружности, радиус которой равен l.

Развертка наклонного конуса

Рассмотрим порядок построения развертки боковой поверхности наклонного конуса методом аппроксимации (приближения).

Алгоритм

1. Вписываем в окружность основания конуса шестиугольник 123456. Соединяем точки 1, 2, 3, 4, 5 и 6 с вершиной S. Пирамида S123456, построенная таким образом, с некоторой степенью приближения является заменой конической поверхности и используется в этом качестве в дальнейших построениях.
2. Определяем натуральные величины ребер пирамиды, используя способ вращения вокруг проецирующей прямой: в примере используется ось i, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций и проходящая через вершину S.
   Так, в результате вращения ребра S5 его новая горизонтальная проекция S’5’₁ занимает положение, при котором она параллельна фронтальной плоскости π₂. Соответственно, S’’5’’₁ – натуральная величина S5.
3. Строим развертку боковой поверхности пирамиды S123456, состоящую из шести треугольников: S₀1₀6₀, S₀6₀5₀, S₀5₀4₀, S₀4₀3₀, S₀3₀2₀, S₀2₀1₀. Построение каждого треугольника выполняется по трем сторонам. Например, у △S₀1₀6₀ длина S₀1₀=S’’1’’₀, S₀6₀=S’’6’’₁, 1₀6₀=1’6’.

Степень соответствия приближенной развертки действительной зависит от количества граней вписанной пирамиды. Число граней выбирают, исходя из удобства чтения чертежа, требований к его точности, наличия характерных точек и линий, которые нужно перенести на развертку.

Перенос линии с поверхности конуса на развертку

Линия n, лежащая на поверхности конуса, образована в результате его пересечения с некоторой плоскостью (рисунок ниже). Рассмотрим алгоритм построения линии n на развертке.

Алгоритм

1. Находим проекции точек A, B и C, в которых линия n пересекает ребра вписанной в конус пирамиды S123456.
2. Определяем натуральную величину отрезков SA, SB, SC способом вращения вокруг проецирующей прямой. В рассматриваемом примере SA=S’’A’’, SB=S’’B’’₁, SC=S’’C’’₁.
3. Находим положение точек A₀, B₀, C₀ на соответствующих им ребрах пирамиды, откладывая на развертке отрезки S₀A₀=S’’A’’, S₀B₀=S’’B’’₁, S₀C₀=S’’C’’₁.
4. Соединяем точки A₀, B₀, C₀ плавной линией.

Развертка усеченного конуса

Описываемый ниже способ построения развертки прямого кругового усеченного конуса основан на принципе подобия.

Алгоритм

1. Строим вспомогательный конус ε, подобный конусу ω, как это показано на рисунке выше. Для удобства построения величину диаметра d выбираем таким образом, чтобы соотношение t=D/d выражалось целым числом. В рассматриваемом примере t=2.
2. Строим развертку боковой поверхности конуса ε – S₀A₀1₀2₀3₀4₀5₀A₀ и на биссектрисе угла A₀S₀A₀ отмечаем точку O₀, выбрав ее расположение произвольно.
3. Проводим прямые O₀A₀, O₀1₀, O₀2₀, O₀3₀, O₀4₀, O₀5₀, O₀A₀ и на них откладываем отрезки [O₀A₁₀]=t×|O₀A₀|, [O₀1₁₀]= t×|O₀1₀|, [O₀2₁₀]=t×|O₀2₀|, [O₀3₁₀]=t×|O₀3₀|, [O₀4₁₀]=t×|O₀4₀|, [O₀5₁₀]=t×|O₀5₀|, [O₀A₁₀]=t×|O₀A₀| соответственно, где t=D/d. Соединяем точки A₁₀, 1₁₀, 2₁₀, 3₁₀, 4₁₀, 5₁₀, A₁₀ плавной линией.
4. Из точек A₁₀, 1₁₀, 2₁₀, 3₁₀, 4₁₀, 5₁₀, A₁₀ проводим лучи, которые параллельны соответственно прямым A₀S₀, 1₀S₀, 2₀S₀, 3₀S₀, 4₀S₀, 5₀S₀, A₀S₀, и на них откладываем отрезки A₁₀B₁₀, 1₁₀1₂₀, 2₁₀2₂₀, 3₁₀3₂₀, 4₁₀4₂₀, 5₁₀5₂₀, A₁₀B₁₀, равные l – образующей усеченного конуса. Проводим линию B₁₀1₂₀2₂₀3₂₀4₂₀5₂₀B₁₀.

ПОДЕЛИТЬСЯ

Заказать чертеж

Вращающийся конус

Перейти к площади поверхности или объему.

Факты о конусе

Обратите внимание на эти интересные вещи:

• У него круг на одном конце
• И точка на другом конце
• И изогнутая сторона
• Это , а не многогранник.
  имеет криволинейную поверхность

images/poly-gl.js?mode=cone

• Заостренный конец конуса называется вершиной
• Плоская часть является основанием

Объект в форме конуса называется коническим

изображения/cone-sweep.js

Конус представляет собой повернутый треугольник

Конус можно сделать, вращая треугольник!

Треугольник является прямоугольным, и он вращается вокруг одной из двух коротких сторон.

Сторона, вокруг которой он вращается, является осью конуса.

Правый против наклонного конуса

Когда вершина выровнена по центру основания, это прямой конус, в противном случае это наклонный конус:

Площадь поверхности конуса

Площадь поверхности состоит из двух частей:

• Базовая зона = π × r ²
• Боковая площадь = π × r × s

Что вместе составляет:

Площадь поверхности = π × r × (r + s)

Примечание: мы можем вычислить s = √(r ² +h ² )

Пример: h = 7 и r = 2

Площадь поверхности основания = π × r ²

= π × 2 ²

= 4π

≈ 12,57

9000

Область поверхности поверхности. = π × r × √(r ² +h ² )

 = π × 2 × √(2 ² +7 ² )

= π × 2 × √ (4 + 49)

= 2π√ (53)

≈ 45,74

Общая площадь поверхности ≈ 12,57 + 45,74 ≈ 58,31

7 + 45,74 ≈ 58,31

5.

Объем конуса

Объем =
1
3
π × г ² × ч

Пример: h = 7 и r = 2

Объем=
1
3
π × r ² × h

 =
1
3
π × 2 ² × 7

 =
28
3
π

≈ 29,32

Поиграй с этим здесь. Формула также работает, когда он «наклоняется» ( косой ), но помните, что высота всегда находится под прямым углом к ​​основанию:

Объем конуса против цилиндра

Формулы объема для конусов и цилиндров очень похожи:

Таким образом, объем конуса составляет ровно одну треть (

1
3

) объема цилиндра.

Мороженое нужно заказывать в цилиндрах, а не в рожках, получится в 3 раза больше!

Как пирамида

Конус также похож на пирамиду с бесконечным числом сторон, см. Пирамида против конуса.

Конусы различной формы

Строительный конус

Это почти конус, но вершина сколота (так называемый «усеченный конус»).

Также у него добавлено более широкое основание, чтобы он не упал!

873 874 875 876, 1833, 1834, 3399, 3400, 3401, 3402

Донные конусы бункера — Сбор урожая Ag

С нашими конусами нижнего бункера – больше не нужно перелопачивать зерно, больше не болит спина, больше не вдыхается пыль. Добавьте дополнительные бушели к существующему зерновому бункеру с быстрой и простой разгрузкой!

Наши конусы днища бункера доступны для новых или существующих зерновых бункеров.

• Конусы бункера окрашены внутри и снаружи. Конусы диаметром 12, 14 и 15 футов, как правило, состоят из одной детали, но могут быть легко собраны из двух частей, если возникают проблемы с транспортировкой
• Конусы диаметром 18–27 футов состоят из двух половин
• Стандартный наклон бункера: 12 футов – 45°, 14 футов и 15 футов – 40°, 18 футов и 21 фут – 38°, 24 дюйма и 27 футов – 35°
  Наклон 45° доступен для всех конусов
  См. таблицу ниже для получения дополнительной информации о наклонах конуса бункера и дополнительной вместимости бушелей
• Цельные конусы диаметром 18 и 21 фут доступны в качестве опции, если доставка осуществляется не слишком далеко от завода

Все бункеры стандартно поставляются с прочным люком с зубчатой ​​рейкой и люком с крышкой. Конусы бункеров представляют собой цельнометаллическую конструкцию с квадратными трубчатыми ножками и распорками. Каждый конус бункера изготавливается на заказ для бункера, под который он будет устанавливаться, и будет работать с любым производителем зерновых бункеров.

Позвоните сегодня для бесплатной оценки и узнайте, какие другие варианты и нестандартные размеры доступны для экономии вашей рабочей силы и повышения производительности вашей работы.

Посмотреть фотогалерею нижних конусов бункера

Доступные варианты:

• Аэрация
• Прочный стальной кожух шнека с болтовым креплением (6 x 8 дюймов)
• Внешняя лестница
• Лестничная клетка
• Крышки нижнего пульта управления
• Шнеки для резервуаров для сыпучих материалов
• Стальная опора для конуса бункера

Преимущества и особенности:

• Больше не нужно копаться
• Нет больше вдыхания пыли
• Добавьте дополнительные бушели в существующий зерновой бункер
• Отличный вариант для непрерывной загрузки зерносушилки
• Быстрая и простая разгрузка – последний бушель выгрузить так же просто, как и первый
• Без шнека
• Превосходный семенной бункер – с бункерами проще работать с зерном, чем с уборщиками или пылесосами
• Доступ к люку в бункере для удобного доступа, обслуживания и очистки

Для получения дополнительной информации о наших конусах днища бункера или прицепах, пожалуйста, позвоните нам по телефону 620-345-8205 или напишите нам по электронной почте.